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レポート課題：計算力学概論における有限要素法の基礎

有限要素法（Finite Element Method, FEM）は、複雑な形状や境界条件を持つ構造物の挙動を数値的に解析する強力な手法である。本レポートでは、授業で学習したFEMの基礎について、基本原理、適用例、数値積分と計算精度という3点を中心に説明する。

1. 有限要素法の基本原理と手順

FEMの基本原理は、連続体の支配方程式を離散化し、近似解を求めることにある。この離散化は、対象領域を複数の単純な要素（有限要素）に分割し、各要素内で近似解を仮定することで行われる。この近似解は、形状関数と呼ばれる関数と節点値を用いて表現される。

支配方程式の離散化には、弱形式と変分原理、あるいはガラーキン法が用いられる。弱形式は、支配方程式を積分形式に変換することで、解に対する滑らかさの条件を緩和する。ガラーキン法は、残差を重み関数（形状関数と同一）を用いて直交化することで、近似解を求める手法である。

FEMの数値解析手順は以下の通りである。

  1. 問題の定義: 解析対象、材料特性、境界条件などを明確にする。
  2. 要素分割（メッシュ生成）: 対象領域を複数の有限要素に分割する。要素の種類（一次元棒要素、二次元三角形要素など）と要素サイズ（メッシュ密度）は計算精度に影響する。
  3. 形状関数の選択: 各要素内で変位場を近似する形状関数を決定する。一次元棒要素では線形形状関数が一般的に用いられる。

  4. 要素剛性マトリックスの導出: 各要素の剛性マトリックスは、形状関数、材料特性、要素幾何形状を用いて導出される。一次元棒要素の場合、要素剛性マトリックス $[K^e]$ は以下の式で表される。

    $[K^e] = \frac{AE}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix}$

    ここで、Aは断面積、Eはヤング率、Lは要素長さである。

  5. 全体剛性マトリックスの組み立て: 各要素の剛性マトリックスを、全体座標系にマッピングし、全体剛性マトリックス $[K]$ を組み立てる。
  6. 荷重ベクトルの作成: 外力や境界条件を考慮して、荷重ベクトル ${F}$ を作成する。

  7. 連立一次方程式の解法: 全体剛性マトリックスと荷重ベクトルを用いて、以下の連立一次方程式を解き、節点変位 ${u}$ を求める。

    $[K]{u} = {F}$

  8. 応力・ひずみの計算: 節点変位から、各要素内の応力とひずみを計算する。

2. 一次元および二次元有限要素法の適用例

(a) 一次元問題：棒要素を用いた例

長さL、断面積A、ヤング率Eの棒に、一端を固定し、他端に荷重Pを加える問題を考える。この問題を、2つの等長要素に分割し、FEMで解析する。要素剛性マトリックスを組み立て、境界条件（一端固定）を考慮して連立一次方程式を解けば、節点変位と応力が求まる。

(b) 二次元問題：平面応力問題

正方形板に一様引張荷重を加える問題を考える。板を複数の三角形要素に分割し、平面応力状態を仮定して解析する。要素剛性マトリックスは、平面応力問題の構成則を用いて導出する。境界条件として、荷重と拘束条件を設定し、連立一次方程式を解くことで、節点変位、応力、ひずみが求まる。

3. 有限要素法における数値積分と計算精度

要素剛性マトリックスの導出には、積分計算が必要となる。複雑な形状関数や材料特性を持つ場合、解析的に積分することは困難であるため、数値積分法が用いられる。ガウス求積法は、精度が高く効率的な数値積分法として広く用いられている。

数値積分の精度やメッシュの構成、要素の選択は計算精度に大きく影響する。メッシュが粗いと、近似精度が低くなり、解の精度が悪くなる。また、高次要素を用いることで、少ない要素数で高精度な解を得ることができるが、計算コストが増加する。要素の形状も重要で、歪んだ要素は精度低下を引き起こす。

収束性は、メッシュを細かくしていくことで解が真の解に近づく性質である。h収束はメッシュサイズhを小さくすることで、p収束は形状関数の次数pを高くすることで収束させる手法である。

以上、有限要素法の基本原理、適用例、数値積分と計算精度について説明した。FEMは複雑な問題を解く強力なツールであるが、メッシュ生成や数値積分法の選択など、計算精度に影響する要素を理解することが重要である。

(図表は、上記の説明を補足する図表を適切に挿入する必要があります。例えば、一次元棒要素の要素分割図、二次元問題のメッシュ図、形状関数、要素剛性マトリックスなどを図示することで、理解を深めることができます。)