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計算力学の基礎概念に関する説明

計算力学は、連続体の力学問題を数値的に解くための強力な手法である。本レポートでは、連続体の力学基礎から有限要素法、数値積分まで、計算力学の基礎概念を体系的に説明する。

1. 連続体の力学基礎

連続体の力学は、応力とひずみ、そしてそれらを結びつける構成則に基づいて記述される。応力は、物体に作用する内力を断面積で割った値であり、応力テンソルσで表される。応力テンソルは、法線応力とせん断応力を含む対称テンソルである。ひずみは、物体の変形量を表し、ひずみテンソルεで表される。ひずみテンソルも対称テンソルであり、法線ひずみとせん断ひずみを含む。これらのテンソルを用いることで、物体の内部の複雑な応力状態や変形状態を数学的に表現できる。

構成則は、応力とひずみの関係を記述する式であり、材料の特性を反映する。線形弾性体では、応力とひずみはフックの法則に従い線形関係にある。一方、非線形弾性体では、応力とひずみの関係は非線形となり、より複雑な構成則が必要となる。例えば、ゴムのような材料は非線形弾性体として扱われる。

つり合い方程式は、物体に作用する外力と内力がつり合っている状態を表す微分方程式である。これは、運動方程式から慣性項を無視することで導出される。つり合い方程式は、応力テンソルの発散と物体力密度が等しいことを示す。

2. 弱形式と変分原理

つり合い方程式を直接解くことは困難な場合が多い。そこで、弱形式と呼ばれる積分形式に変換することで、近似解を求めることが可能となる。弱形式は、つり合い方程式に重み関数を掛け、積分領域全体で積分することで導出される。この操作により、微分方程式の解の滑らかさに関する制約が緩和され、近似解を求めやすくなる。

弱形式は、変分原理と密接に関連している。変分原理では、系のポテンシャルエネルギーを最小化する関数が解となる。弱形式は、変分原理におけるオイラー・ラグランジュ方程式と等価である。

ガラーキン法は、重み関数として形状関数を使用する弱形式の一種である。一次元の棒の問題を例に挙げると、支配方程式は -EA(d²u/dx²) = f となる。ここで、Eはヤング率、Aは断面積、uは変位、fは物体力である。この式に重み関数vを掛け、部分積分を行うことで、弱形式 ∫EA(du/dx)(dv/dx)dx = ∫fvdx が得られる。

3. 有限要素法の基本概念

有限要素法は、弱形式を離散化して解くための数値解法である。まず、解析対象領域を要素と呼ばれる小さな領域に分割する。各要素内では、解を形状関数と呼ばれる既知の関数で近似する。一次元要素では、形状関数は線形関数N1 = (1-x/L), N2 = x/L で表される。二次元三角形要素では、面積座標を用いて形状関数が定義される。

要素剛性マトリックスは、要素内の形状関数と材料特性から計算される。これは、弱形式における積分を要素ごとに計算した結果である。全体剛性マトリックスは、各要素剛性マトリックスを適切に組み合わせることで構築される。この過程をアセンブリと呼ぶ。

4. 数値積分と計算精度

有限要素法では、要素剛性マトリックスの計算に積分が必要となる。多くの場合、これらの積分を解析的に計算することは困難であるため、数値積分が用いられる。ガウス求積法は、少ない積分点で高精度な結果を得ることができる代表的な数値積分法である。

計算精度は、メッシュサイズや要素の種類に影響される。メッシュサイズを小さくする(h-収束)ことで、精度は向上する。また、高次の形状関数を持つ要素を使用する(p-収束)ことでも、精度は向上する。h-収束は、要素数を増やすことで精度を向上させる方法であり、p-収束は、要素数を増やさずに要素内の形状関数の次数を上げることで精度を向上させる方法である。

以上のように、計算力学は、連続体の力学、弱形式、有限要素法、数値積分といった概念が相互に関連し合いながら構成されている。これらの基礎概念を理解することは、計算力学を用いた解析を行う上で不可欠である。